測量不確定度評定與表示

JJF1059—1999

    一切測量結果都不可避免地具有不確定度。《測量不確定度表示指南》（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement以下簡稱GUM），由標準化組織（ISO）計量技術顧問組第三工作組（ISO／TAG4／WG3）起草，于1993年以7個組織的名義聯合發布，這7個組織是標準化組織（ISO）、電工委員會（IEC）、*（BIPM）、法制計量組織（OIML）、理論化學與應用化學聯合會（IUPAC）、理論物理與應用物理聯合會（IUPAP）、臨床化學聯合會（IFCC）。GUM采用當前通行的觀點和方法，使涉及測量的技術領域和部門，可以用統一的準則對測量結果及其質量進行評定、表示和比較。在我國實施GUM，不僅是不同學科之間交往的需要，也是市場經濟發展的需要。本規范給出的的方法從易于理解、便于操作、利于過渡出發，原則上等同采用GUM的基本內容，對科學研究、工程技術及商貿中大量存在的測量結果的處理和表示，均具有適用性。本規范的目的是：

    ——提出如何以完整的信息評定與表示測量不確定度；

    ——提供對測量結果進行比較的基礎。

    評定與表示測量不確定度的方法滿足以下要求：

    a）適用于各種測量和測量中所用到的各種輸入數據，即具有普遍適用性。

    b）在本方法中表示不確定度的量應該：

    ——能從對不確定度有貢獻的分量導出，且與這些分量怎樣分組無關，也與這些分量如何進一步分解為下一級分量無關，即它們是內部協調一致的；

    ——當一個測量結果用于下一個測量時，其不確定度可作為下一個測量結果不確定度的分量，即它們是可傳播的。

    c）在諸如工業、商業及與健康或安全有關的某些領域中，往往要求提供較高概率的置信區間，本方法應能方便地給出這樣的區間及相應的置信概率。

    本規范給出了常見情況下，評定與表示測量不確定度的原則、方法和簡要步驟，其中的舉例，旨在對原則和方法作詳細說明，以便于進一步理解和有助于實際應用。附錄中所用的基本符號，取自GUM及有關的ISO、IEC標準。

1   范圍

1.1   本規范所規定的測量中評定與表示不確定度的通用規則，適用于各種準確度等級的測量領域，例如：

    a）建立國家計量基準、計量標準及其比對；

    b）標準物質、標準參考數據；

    c）測量方法、檢定規程、檢定系統、校準規范等；

    d）科學研究及工程領域的測量；

    e）計量認證、計量確認、質量認證以及實驗室認可；

    f）測量儀器的校準和檢定；

    g）生產過程的質量保證以及產品的檢驗和測試；

    h）貿易結算、醫療衛生、安全防護、環境監測及資源測量。

1.2   本規范主要涉及有明確定義的，并可用*值表征的被測量估計值的不確定度。至于被測量呈現為一系列值的分布或取決于一個或多個參量（例如，以時間為參變量），則對被測量的描述是一組量，應給出其分布情況及其相互關系。

2   基本術語及其概念

    本規范中所使用的術語及其定義與《JJF1001——1998通用計量術語及定義》一致，但其中楷體字的內容為本規范所增加。

2.1   ［可測量的］*量［measurable］quantity

    *方括號［   ］中的字一般可省略，下同。

    現象、物體或物質可定性區別和定量確定的屬性。

    注：

    1   術語“量”可指一般意義的量或特定量。一般意義的量如長度、時間、質量、溫度、電阻、物質的量濃度；特定量如某根棒的長度，某根導線的電阻，某份酒樣中乙醇的濃度。

    2   可相互比較并按大小排序的量稱為同種量。若干同種量合在一起可稱之為同類量，如功、熱、能；厚度、周長、波長。

    3   量的符號參照《GB3100～3102—1993量和單位》。

2.2   量值   value of a quantity

    一般由一個數乘以測量單位所表示的特定量的大小。

    例：5.34m或534cm，15kg，10s,－40℃。

    注：對于不能由一個數乘以測量單位所表示的量，可參照約定參考標尺，或參照測量程序，或兩者都參照的方式表示。

2.3   ［量的］真值   true value［of a quantity］

    與給定的特定量定義一致的值。

    注：

    1   量的真值只有通過完善的測量才有可能獲得。

    2   真值按其本性是不確定的。

    3   與給定的特定量定義一致的值不一定只有一個。

    4   GUM用“被測量之值”代替“真值”。在不致引起混淆時，推薦這一用法。

2.4   ［量的］約定真值   conventional true value［of a quantity］

    對于給定目的具有適當不確定度的、賦予特定量的值，有時該值是約定采用的。

    例：a）在給定地點，取由參考標準復現而賦予該量的值作為約定真值。

        b）常數委員會（CODATA）1986年推薦的阿伏加德羅常數值6.0221367×10²³mol^－1。

    注：

    1   約定真值有時稱為值、*估計值、約定值或參考值。參考值在這種意義上使用不應與參考條件中的參考值混淆。

    2   常用某量的多次測量結果來確定約定真值。

2.5   被測量   measurand

    作為測量對象的特定量。

    例：給定的水樣品在20℃時的蒸汽壓力。

    注：

    1   對被測量的詳細描述，可要求包括對其他有關量（如時間、溫度和壓力）作出說明。

    2   實踐中，被測量應根據所需準確度予以完整定義，以便對所有的測量，其值是單一的。例如：一根標稱值為1m長的鋼棒其長度需測至微米級準確度，其技術說明應包括給定溫度和壓力。但若只需毫米級準確度，則無需規定溫度、壓力和其他影響量的值。

2.6   測量結果   result of a measurement

    由測量所得到的賦予被測量的值。

    注：

    1   在給出測量結果時，應說明它是示值、未修正測量結果或已修正測量結果，還應表明它是否為若干個值的平均值。

    2   在測量結果的完整表述中，應包括測量不確定度，必要時還應說明有關影響量的取值范圍。

    3   測量結果僅是被測量之值的估計。

    4   很多情況下，測量結果是在重復觀測的情況下確定的。

    5   在測量結果的完整表述中，還應給出自由度。

2.7   測量準確度   accuracy of measurement

    測量結果與被測量的真值之間的一致程度。

    注：

    1   不要用術語“精密度”代替“準確度”。

    2   準確度是一個定性概念。例如：可以說準確度高低、準確度為0.25級、準確度為3等及準確度符合××標準；盡量不使用如下表示：準確度為0.25%、16mg、≤16mg及±16mg。

2.8   ［測量結果的］重復性   repeatability［of results of measurements］

    在相同測量條件下，對同一被測量進行連續多次測量所得結果之間的一致性。

    注：

    1   這些條件稱為“重復性條件”。

    2   重復性條件包括：

    相同的測量程序；

    相同的觀測者；

    在相同的條件下使用相同的測量儀器；

    相同地點；

    在短時間內重復測量。

    3   重復性可以用測量結果的分散性定量地表示。

    4   重復性用在重復性條件下，重復觀測結果的實驗標準差（稱為重復性標準差）s_r定量地給出。

    5   重復觀測中的變動性，是由于所有影響結果的影響量不能*保持恒定而引起的。

2.9   ［測量結果的］復現性   reproducibility［of results of measurements］

    在改變了的測量條件下，同一被測量的測量結果之間的一致性。

    注：

    1   在給出復現性時，應有效說明改變條件的詳細情況。

    2   可改變的條件包括：

    測量原理；

    測量方法；

    觀測者；

    測量儀器；

    參考測量標準；

    地點；

    使用條件；

    時間。

    3   復現性可用測量結果的分散性定量地表示。

    4   測量結果在這里通常理解為已修正結果。

    5   在復現性條件下，復現性用重復觀測結果的實驗標準差（稱為復現性標準差）s_Ｒ定量地給出。

    6   又稱為“再現性”。

2.10   實驗標準［偏］差   experimental standard deviation

    對同一被測量作n次測量，表征測量結果分散性的量s可按下式算出：

                                          （1）

式中q_k是第k次測量結果； 是n次測量的算術平均值。

    注：

    1   當將n個測量結果視作分布的樣本時， 是該分布的期望值 _q的無偏估計，實驗方差s^２（q_k）是這一分布的方差 ^２的無偏估計。

    2   s（q_k）／ 為 的分布的標準差估計，稱為平均值的實驗標準差。

    3   將平均值的實驗標準差稱為平均值的標準誤差是不正確的。

    4   s（q_k）與s（q_k）／n的自由度相同，均為n－1。

    5   式（1）稱為貝塞爾公式。

2.11   ［測量］不確定度   uncertainty［of a measurement］

    表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結果相的參數。

    注：

    1   此參數可以是諸如標準差或其倍數，或說明了置信水準的區間的半寬度。

    2   測量不確定度由多個分量組成。其中一些分量可用測量列結果的統計分布估算， 并用實驗標準差表征。

另一些分量則可用基于經驗或其他信息的假定概率分布估算，也可用標準差表征。

    3   測量結果應理解為被測量之值的*估計，全部不確定度分量均貢獻給了分散性，包括那些由系統效應

引起的（如，與修正值和參考測量標準有關的）分量。

    4   不確定度恒為正值。當由方差得出時，取其正平方根。

    5   不確定度一詞指可疑程度，廣義而言，測量不確定度意為對測量結果正確性的可疑程度。不帶形容詞的

不確定度用于一般概念，當需要明確某一測量結果的不確定度時，要適當采用一個形容詞，比如合成不確定度或擴展

不確定度；但不要用隨機不確定度和系統不確定度這兩個術語，必要時可用隨機效應導致的不確定度和系統效應導致

的不確定度來說明。

    6   《JJF1001—1998通用計量術語及定義》給出的上述不確定度定義是可操作的定義，即著眼于測量結果

及其分散性。雖然如此，這個定義從概念上來說與下述曾使用過的定義并不矛盾：

    ——由測量結果給出的被測量估計值的可能誤差的度量。

    ——表征被測量的真值所處范圍的評定。

    不論采用以上哪一種不確定度的概念，其評定方法均相同，表達形式也一樣。

    7   本術語中的方括弧系本規范按GUM所加。

2.12   標準不確定度   standard uncertainty

    以標準差表示的測量不確定度。

2.13   不確定度的A類評定   type A evaluation of uncertainty

    用對觀測列進行統計分析的方法，來評定標準不確定度。

    注：不確定度的A類評定，有時又稱為A類不確定度評定。

2.14   不確定度的B類評定   type B evaluation of uncertainty

    用不同于對觀測列進行統計分析的方法，來評定標準不確定度。

    注：不確定度的B類評定，有時又稱為B類不確定度評定。

2.15   合成標準不確定度   combined standard uncertainty

    當測量結果是由若干個其他量的值求得時，按其他各量的方差或（和）協方差算得的標準不確定度。

    注：它是測量結果標準差的估計值。

2.16   擴展不確定度   expanded uncertainty

    確定測量結果區間的量，合理賦予被測量之值分布的大部分可望含于此區間。

    注：擴展不確定度有時也稱展伸不確定度或范圍不確定度。

2.17   包含因子   coverage factor

    為求得擴展不確定度，對合成標準不確定度所乘之數字因子。

    注：

    1   包含因子等于擴展不確定度與合成標準不確定度之比。

    2   包含因子有時也稱覆蓋因子。

    3   根據其含義可分為兩種：k＝U／u_c;k_p＝U_p／u_c。

    4   一般在2～3范圍內。

    5   下腳標p為置信概率，即置信區間所需要的概率。

2.18   自由度   degrees of freedom

    在方差的計算中，和的項數減去對和的限制數。

    注：

    1   在重復性條件下，對被測量作n次獨立測量時所得的樣本方差 其中殘差為

。因此，和的項數即為殘差的個數n，而 ,是一個約束條件，即限制

數為1。由此可得自由度v＝n－1。

    2   當測量所得n組數據用t個未知數按zui小二乘法確定經驗模型時，自由度v＝n－t。

    3   自由度反映相應實驗標準差的可靠程度，用于在評定擴展不確定度U_p時求得包含因子kp。合成標準不確

定度u_c（y）的自由度，稱為有效自由度ν_eff，當y接近正態分布時，包含因子等于t分布臨界值，即k_p＝t_p（v_eff）。

2.19   置信概率   confidence level;level of confidence

      與置信區間或統計包含區間有關的概率值（1－α）。

    注：

    1   符號為p,p＝1－α。

    2   經常用百分數表示。

    3   又稱置信水平，置信系數，置信水準。

2.20   ［測量］誤差   error［of measurement］

    測量結果減去被測量的真值。

    注：

    1   由于真值不能確定，實際上用的是約定真值。

    2   當有必要與相對誤差相區別時，此術語有時稱為測量的誤差。注意不要與誤差的值相混淆，后者為誤差的模。

       3   誤差之值只取一個符號，非正即負。

    4   誤差與不確定度是*不同的兩個概念，不應混淆或誤用。對同一被測量不論其測量程序、條件如何，相同測量結果的誤差相同；而在重復性條件下，則不同結果可有相同的不確定度。

    5   測量儀器的特性可以用［示值］誤差、zui大允許誤差等術語描述。

    6   隨機誤差：測量結果與重復性條件下對同一量進行無限多次測量所得結果的平均值之差。由于實際上只能進行有限次測量，因而只能得出這一測量結果中隨機誤差的估計值。隨機誤差大抵是由影響量的隨機時空變化所引起，這種變化帶來的影響稱為隨機效應，它們導致重復觀測中的分散性。

    7   系統誤差：在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量真值之差。由于系統誤差及其原因不能*獲知，因此通過修正值對系統誤差只能有限程度的補償。當測量結果以代數和與修正值相加之后，其系統誤差之模會比修正前的要小，但不可能為零。來源于影響量的已識別的效應稱為系統效應。

2.21   修正值   correction

    用代數法與未修正測量結果相加，以補償其系統誤差的值。

    注：

    1   修正值等于負的系統誤差。

    2   由于系統誤差不能*獲知，因此這種補償并不*。

    3   為補償系統誤差，而與未修正測量結果相乘的因子稱為修正因子。

    4   已修正的測量結果即使具有較大的不確定度，但可能仍十分接近被測量的真值 （即誤差甚小），因此，不應把測量不確定度與已修正結果的誤差相混淆。

2.22   相關系數   correlation coefficient

    相關系數是兩個變量之間相互依賴性的度量，它等于兩個變量間的協方差除以各自方差之積的正平方根，因此

其估計值

    相關系數是一個純數，－1≤ ≤+1或－1≤r（y_i,z_i）≤+1

    注：

    1   和r是－1和+1范圍內的純數，而協方差通常具有不方便的量綱。因此，通常相關系數比協方差更有

用。

    2   對于多變量概率分布，通常給出相關系數矩陣，而不是協方差矩陣。由于 （y,y）＝1和r（y_i,y_i）＝1，

所以該矩陣的對角線元素為1。

    3   如果輸入估計值x_i和x_j是相關的，并且x_i變化 _i，使x_j產生變化 _j，則與x_i和x_j相應的相關系數由下

式近似估計

r（x_i,x_j）≈u（x_i） _j／u（x_j） _i

    這個關系式可以用作基本的相關系數經驗估計公式。如果兩者的相關系數已知，那么此式也可用于計算由一個輸入估計值變化而引起另一個變化的近似值。

2.23   獨立   independence

    如果兩個隨機變量的聯合概率分布是它們每個概率分布的乘積，那么這兩個隨機變量是統計獨立的。

    注：如果兩個隨機變量是獨立的，那么它們的協方差和相關系數等于零，但反之不一定成立。

3   產生測量不確定度的原因和測量模型化

3.1   測量過程中的隨機效應及系統效應均會導致測量不確定度，數據處理中的修約也會導致不確定度。這些從產生不確定度的原因上所作的分類，與從評定方法上所作的A、B分類之間不存在任何。

    A、B分類旨在指出評定的方法不同，只是為了便于理解和討論，并不意味著兩類分量之間存在本質上的區別。它們都基于概率分布，并都用方差或標準差定量表示，為方便起見而稱為A類標準不確定度和B類標準不確定度。表征A類標準不確定度分量的估計方差u^２，是由一系列重復觀測值計算得到的，即為統計方差估計值s^２。標準不確定度u為u^２的正平方根值，故u＝s。Ｂ類標準不確定度分量的方差估計值u^２，則是根據有關信息來評定的，即通過一個假定的概率密度函數得到的，此函數基于事件發生的可信程度，即主觀概率或先驗概率。

3.2   測量結果的不確定度反映了對被測量之值的認識不足，借助于已查明的系統效應對測量結果進行修正后，所得到的只是被測量的估計值，而修正值的不確定度以及隨機效應導致的不確定度依然存在。

3.3   測量中可能導致不確定度的來源一般有：

    a）被測量的定義不完整；

    b）復現被測量的測量方法不理想；

    c）取樣的代表性不夠，即被測樣本不能代表所定義的被測量；

    d）對測量過程受環境影響的認識不恰如其分或對環境的測量與控制不完善；

    e）對模擬式儀器的讀數存在人為偏移；

    f）測量儀器的計量性能（如靈敏度、鑒別力閾、分辨力、死區及穩定性等）的局限性；

    g）測量標準或標準物質的不確定度；

    h）引用的數據或其他參量的不確定度；

    i）測量方法和測量程序的近似和假設；

    j）在相同條件下被測量在重復觀測中的變化。

    上述不確定度的來源可能相關，例如，第j項可能與前面各項有關。

    對于那些尚未認識到的系統效應，顯然是不可能在不確定度評定中予以考慮的，但它可能導致測量結果的誤差。

3.4   測量不確定度通常由測量過程的數學模型和不確定度的傳播律來評定。由于數學模型可能不完善，所有有關的量應充分地反映其實際情況的變化，以便可以根據盡可能多的觀測數據來評定不確定度。在可能情況下，應采用按長期積累的數據建立起來的經驗模型。核查標準和控制圖可以表明測量過程是否處于統計控制狀態之中，有助于數學模型的建立和測量不確定度的評定。

3.5   在修正值的不確定度較小且對合成標準不確定度的貢獻可忽略不計的情況下，可不予考慮。如果修正值本身與合成標準不確定度比起來也很小時，修正值可不加到測量結果之中。

3.6   在實際工作中，尤其是在法制計量領域中，被測量通過與相應的測量標準相比較獲得其估計值。對于測量所要求的準確度來說，測量標準的不確定度及比較過程導致的不確定度，通常可以忽略不計。例如，用校準過的標準砝碼檢定商用臺案秤。

3.7   當某些被測量是通過與物理常量相比較得出其估計值時，按常數或常量來報告測量結果，可能比用測量單位來報告測量結果，有較小的不確定度。例如，一臺高質量的齊納電壓標準（Zener voltage standard）通過與約瑟夫遜效應電壓基準相比較而被校準，該基準是以計量委員會（CIPM）向推薦的約瑟夫遜常量K_１－90的約定值為基礎的，當按約定的K_1－90作為單位來報告測量結果時，齊納電壓標準的已校準電壓Vs的相對合成標準不確定度u_crel（V_s）＝u_c（V_s）／V_s＝2×10^－8。然而，當V_s按電壓的單位伏特給出時，u_crel（V_s）＝4×10^－7，因為K_１－90用Hz／V表示其量值時引入了不確定度。

3.8   在測量不確定度評定中，也必須剔除測量結果中的異常值（通常由于讀取、記錄或分析數據的失誤所導致）。異常值的剔除應通過對數據的適當檢驗進行（例如，按《GB 4883—1985正態分布中異常值的判斷和處理》）。

3.9   測量中，被測量Y（即輸出量）由N個其他量X₁，X₂，…，X_N，通過函數關系f來確定，即：

Y＝f（X₁,X₂,…,X_Ｎ）                                            （2）

      式中，Ｘ_i是對Y的測量結果y產生影響的影響量（即輸入量）。式（2）稱為測量模型或數學模型。

    如被測量Y的估計值為y，輸入量X_i的估計值為x_i,則有：

y＝f（x₁,x₂,…，x_N）                                            （3）

      式（2）中大寫字母表示的量的符號，在本規范中既代表可測的量，也代表隨機變量。當敘述為X_i具有某概率分布時，這個符號的含義就是后者。

    在一列觀測值中，第k個X_i的觀測值用X_ik表示。如電阻器的電阻符號為R，則其觀測列中的第k次值表示為R_k。

    又如，一個隨溫度t變化的電阻器兩端的電壓為V，在溫度為t_０時的電阻為R₀，電阻器的溫度系數為α，則電阻器的損耗功率P（被測量）取決于V，R₀，α和t，即：

                        （4）

    測量損耗功率P的其他方法可能有不同的數學模型。數學模型與測量程序有關。

3.10   輸出量Y的輸入量X_１,X₂，…X_N本身可看作被測量，也可取決于其他量，甚至包括具有系統效應的修正值，從而可能導出一個十分復雜的函數關系式，以至函數f不能明確地表示出來。f也可以用實驗的方法確定，甚至只用數值方程給出（數值方程為物理方程的一種，用于表示在給定測量單位的條件下，數值之間的關系，而無物理量之間的關系）。因此，如果數據表明f沒有能將測量過程模型化至測量所要求的準確度，則必須在f中增加輸入量，即增加影響量。例如，在3.9的例中，再增加以下輸入量：電阻器上已知的溫度非均勻分布、電阻溫度系數的非線性關系、電阻R與大氣壓力p_amb的關系等。

    式（2）也可能簡單到Y＝X₁－X₂,甚至Y＝X。

3.11   式（3）中，被測量Y的*估計值y在通過輸入量X₁，X₂，…，X_N的估計值x_１，x₂…,x_N得出時，可有以下兩種方法：

    a）

                             （5）

式中   y是取Y的n次獨立觀測值y_k的算術平均值，其每個觀測值y_k的不確定度相同，且每個y_k都是根據同時獲得的N個輸入量X_i的一組完整的觀測值求得的。

    b）

                                       （6）

      式中， ，它是獨立觀測值x_i,k的算術平均值。這一方法的實質是先求X_i的*估計值x_i，再通過函數關系式得出y。

    以上兩種方法，當f是輸入量X_i的線性函數時，它們的結果相同。但當f是X_i的非線性函數時，（5）式的計算方法較為*。

3.12   輸入量X₁，X₂，…，X_N可以是：

    ——由當前直接測定的量。它們的值與不確定度可得自單一觀測、重復觀測、依據經驗對信息的估計，并可包含測量儀器讀數修正值，以及對周圍溫度、大氣壓、濕度等影響的修正值。

    ——由外部來源引入的量。如已校準的測量標準、有證標準物質、由手冊所得的參考數據等。

    x_i的不確定度是y的不確定度的來源。尋找不確定度來源時，可從測量儀器、測量環境、測量人員、測量方法、被測量等方面全面考慮，應做到不遺漏、不重復，特別應考慮對結果影響大的不確定度來源。遺漏會使y的不確定度過小，重復會使y的不確定度過大。

    評定y的不確定度之前，為確定Y的*值，應將所有修正量加入測得值，并將所有測量異常值剔除。

    y的不確定度將取決于x_i的不確定度，為此首先應評定x_i的標準不確定度u（x_i）。評定方法可歸納為A、B兩類。

4   標準不確定度的A類評定

4.1   基本方法

      在重復性條件或復現性條件下得出n個觀測結果x_k，隨機變量x的期望值 _x的*估計是n次獨立觀測結果的算術平均值 （ 又稱為樣本平均值）：

                                                 （7）

由于影響量的隨機變化或隨機效應時空影響的不同，每次獨立觀測值x_k不一定相同，它與 之差稱為殘差v，

v_k＝x_k－                                                  （8）

  觀測值的實驗方差按式（1）為：

                                        （9）

    式中，s^２（x_k）是x_k的概率分布的總體方差 _２的無偏估計，其正平方根s（x_k）表征了xk的分散性。確切地說，表征了它們在x上下的分散性。x（x_k）稱為樣本標準差或實驗標準差，表示實驗測量列中任一次測量結果的標準差。通常以獨立觀測列的算術平均值作為測量結果，測量結果的標準不確定度為s（x）＝s（x_k）／ ＝u（ ）。

    觀測次數n應充分多，以使x成為x的期望值 _x的可靠估計值，并使s^２（x_k）成為 ^２的可靠估計值；從而也使u（x_k）更為可靠。

    盡管方差s^２（x）在不確定度評定與表示中是更為基本的量，但由于標準差s（x）與x有相同量綱，較為直觀和便于理解，故使用得更為廣泛。

4.2   對一個測量過程，若采用核查標準或控制圖的方法使其處于統計控制狀態，則該統計控制下，測量過程的合并樣本標準差s_p表示為：

                                              （10）

    式中，s_i為每次核查時的樣本標準差；k為核查次數。在相同情況下，由該測量過程對被測量X進行n次重復觀測，以算術平均值 作為測量結果，則該結果的標準不確定度為：

u（ ）＝s_p／                                             （11）

4.3   在規范化的常規測量中，如對被測量x_i都進行了重復性條件下或復現性條件下的n次獨立觀測，有x_i1,x_i2,…,x_in,其平均值為 _i,如有m組這樣的被測量，按下式可得 為：

                                （12）

如這m組已分別按其重復次數算出了各次實驗標準差s_i，則s_p可按下式給出：

                                       （13）

    式（12）和（13）給出的s_p，自由度為m（n－1）。

    如對m個被測量X_i所重復的次數不*相同，設各為n_i，而X_i的標準差s（x_i）的自由度為v_i＝n_i－１，通過m個s_i與v_i可得 為：

                                     （14）

    自由度為 。

4.4   在重復性條件或復現性條件下，對X_i進行n次獨立觀測，計算結果中的zui大值與zui小值之差R（稱為極差），在X_i可以估計接近正態分布的前提下，單次測量結果x_i的實驗標準差s（x_i）可按下式近似地評定：

                                              （15）

      式（15）中系數C及自由度v如下表：

表 1   極差系數C及自由度v

    一般在測量次數較小時采用該法。

4.5   當輸入量X_i的估計值x_i是由實驗數據用zui小二乘法擬合的曲線上得到時，曲線上任何一點和表征曲線擬合參數的標準不確定度，可用有關的統計程序評定。

4.6   在重復性條件下所得的測量列的不確定度，通常比用其他評定方法所得到的不確定度更為客觀，并具有統計學的嚴格性，但要求有充分的重復次數。此外，這一測量程序中的重復觀測值，應相互獨立。例如：

    a）被測量是一批材料的某一特性，所有重復觀測值來自同一樣品，而取樣又是測量程序的一部分，則觀測值不具有獨立性，必須把不同樣本間可能存在的隨機差異導致的不確定度分量考慮進去；

    b）測量儀器的調零是測量程序的一部分，重新調零應成為重復性的一部分；

    c）通過直徑的測量計算圓的面積，在直徑的重復測量中，應隨機地選取不同的方向觀測；

    d）當使用測量儀器的同一測量段進行重復測量時，測量結果均帶有相同的這一測量段的誤差，而降低了測量結果間的相互獨立性；

    e）在一個氣壓表上重復多次讀取示值，把氣壓表擾動一下，然后讓它恢復到平衡狀態再進行讀數，因為即使大氣壓力并無變化，還可能存在示值和讀數的方差。

4.7   如果被測量估計值x_i在多次觀測中存在相關的隨機效應，例如，都與時間有關，則按本規范計算是不妥的。在這種情況下，應采用專門為相關的隨機變量測量列的數據處理設計的統計方法來分析觀測值。例如，在晶振頻率測量中，由于噪聲導致理論方差發散，從而需采用阿倫方差。

5   標準不確定度的B類評定

5.1   獲得B類標準不確定度的信息來源一般有：

    a）以前的觀測數據；

    b）對有關技術資料和測量儀器特性的了解和經驗；

    c）生產部門提供的技術說明文件；

    d）校準證書、檢定證書或其他文件提供的數據、準確度的等別或級別，包括目前暫在使用的極限誤差等；

    e）手冊或某些資料給出的參考數據及其不確定度；

    f）規定實驗方法的國家標準或類似技術文件中給出的重復性限r或復現性限R。

    用這類方法得到的估計方差u^２（x_i），可簡稱為B類方差。

5.2   如估計值x_i來源于制造部門的說明書、校準證書、手冊或其他資料，其中同時還明確給出了其不確定度U（x_i）是標準差s（x_i）的k倍，指明了包含因子k的大小，則標準不確定度u（x_i）可取U（x_i）／k,而估計方差u^２（x_i）為其平方。

    例：校準證書上指出標稱值為1kg的砝碼質量m＝1000.00032g，并說明按包含因子k＝3給出的擴展不確定度U＝0.24mg。則該砝碼的標準不確定度為u（m）＝0.24mg／3＝80 g，估計方差為u^２（m）＝（80 g）^２＝6.4×10^－9g^２。相應的相對標準不確定度為：

u_rel（m）＝u（m）／m＝80×10^－9

5.3   如x_i的擴展不確定度不是按標準差s（x_i）的k倍給出，而是給出了置信概率p為90%、95%或99%的置信區間的半寬U₉₀、U₉₅或U₉₉，除非另有說明，一般按正態分布考慮評定其標準不確定度u（x_i）。對應于上述三種置信概率的包含因子k_p分別為1.64、1.96或2.58，更為完整的關系如表2：

表 2   正態分布情況下置信概率p與包含因子k_p間的關系

    例：校準證書上給出標稱值為10Ω的標準電阻器的電阻R_s在23℃時為：

R_s（23℃）＝（10.00074±0.00013）Ω

    同時說明置信概率p＝99%。

    由于U₉₉＝0.13mΩ，按表2，k_p＝2.58，其標準不確定度為u（R_s）＝0.13mΩ／2.58＝50 Ω，估計方差為u^２（R_s）＝（50 Ω）^２＝2.5×10^－9Ω^２。相應的相對標準不確定度為：

u_rel（R_s）＝u（R_s）／R_s＝5×10^－6

5.4   如根據所獲得的資料表明，輸入量Xi的值有50%的概率落于a_－和a₊的區間內。取X_i的*估計值x_i為該區間的中點。設該區間的半寬為（a_＋－a_－）／2＝a。在假設X_i的可能值接近正態分布的前提下，按表2，k₅₀＝0.67，則取x_i的標準不確定度u（x_i）＝a／0.67，其方差為u^２（x_i）＝（a／0.67）^２

    例：機械師在測量零件尺寸時，估計其長度以50%的概率落于10.07mm至10.15mm之間，并給出了長度l＝（10.11±0.04）mm，這說明0.04mm為p＝50%的置信區間半寬，在接近正態分布的條件下，按表2，k₅₀＝0.67，則長度l的標準不確定度為u（l）＝0.04mm／0.67＝0.06mm，其方差為u^２（l）＝（0.04mm／0.67）^２＝3.5×10^－3mm^２。

5.5   如已知信息表明Ｘ_i之值接近正態分布；并以0.68概率落于（a_＋－a_－）／2＝a的對稱范圍之內，按表2，k_p＝1，則u（x_i）＝a。

5.6   如已知信息表明X_i之值x_i分散區間的半寬為a，且x_i落于x_i－a至x_i+a區間的概率p為，即全部落在此范圍中，通過對其分布的估計，可以得出標準不確定度u（x_i）＝a／k，因為k與分布狀態有關，見表3。

表 3   常用分布與k、u（x_i）的關系

      表3中 為梯形的上底與下底之比，對于梯形分布來說，k＝6／（1+ ^２），特別當 等于1時，梯形分布變為矩形分布；當 等于0時，變為三角分布。

    例1：手冊中給出純銅在20℃時的線膨脹系數α₂₀（Cu）為16.52×10^－6℃^－1，并說明此值變化的半范圍為α＝0.40×10^－6℃^－1。按α₂₀（Cu）在［（16.52－0.40）×10^－6℃^－1，（16.52+0.40）×10^－6℃^－1］區間內為均勻分布，于是

u（α）＝0.40×10^－6℃^－1／ ＝0.23×10^－6℃^－1

    例2：數字電壓表制造廠說明書說明：儀器校準后1～2年內，在1V內示值zui大允許誤差的模為14×10^－6×（讀數）+2×10^－6×（范圍）。設校準后20月在1V內測量電壓，在重復性條件下獨立測得電壓V，其平均值為：



    平均值的實驗標準差為： 。

    電壓表zui大允許誤差的模：

a＝14×10^－6×0.928571 V+2×10^－6×1V＝15 V

    a即為均勻分布的半寬，按表3，k＝3，則示值的標準不確定度為：

u（ΔV）＝15 V／ ＝8.7μV

    由示值不穩定性導致的不確定度為A類標準不確定度，即s（ ）＝12 V，由示值誤差導致的標準不確定度為B類標準不確定度，即u（ΔV）＝8.7 V。

5.7   在缺乏任何其他信息的情況下，一般估計為矩形分布是較合理的。但如果已知被研究的量X_i的可能值出現在a_－至a₊中心附近的概率，大于接近區間的邊界時，則按三角分布計算。如果x_i本身就是重復性條件下的幾個觀測值的算術平均值，則可估計為正態分布（參見附錄B）。

5.8   在輸入量X_i可能值的下界a_－和上界a₊相對于其*估計值x_i并不對稱的情況下，即下界a_－＝x_i－b_－，上界a₊＝x_i+b₊，其中b_－≠b+。這時由于x_i不處于a_－至a₊區間的中心，X_i的概率分布在此區間內不會是對稱的，在缺乏用于準確判定其分布狀態的信息時，按矩形分布處理可采用下列近似評定：

                                    （16）

      例：設手冊中給出的銅膨脹系數α₂₀（Cu）＝16.52×10^－6℃^－1，但指明zui小可能值為16.40×10^－6℃^－1，zui大可能值為16.92×10^－6℃^－1。

    這時，  b_－＝（16.52－16.40）×10^－6℃^－1

 ＝0.12×10^－6℃^－1

            b_＋＝（16.92－16.52）×10^－6℃^－1

  ＝0.40×10^－6℃^－1

    由式（16）得：

u（α₂₀）＝0.15×10^－6℃^－1

    有時對于不對稱的界限，可以對估計值x_i加以修正，修正值的大小為（b₊－b_－）／2，則修正后x_i就在界限的中心位置x_i＝（a_－+a₊）／2，而其半寬a＝（a₊－a_－）／2，從而可按5.4～5.7各節所述方式處理。

5.9   對于數字顯示式測量儀器，如其分辨力為 則由此帶來的標準不確定度為u（x）＝0.29 。

    對于所引用的已修約的值，如其修約間隔為 ，則因此導致的標準不確定度為u（x）＝0.29 。

5.10   在規定實驗方法的國家標準或類似技術文件中，按規定的測量條件，當明確指出兩次測量結果之差的重復性限r或復現性R時，如無特殊說明，則測量結果標準不確定度為u（x_i）＝r／2.83或u（x_i）＝R／2.83（參見ISO 5725 Accuracy of measurement methods and results）。

5.11   當測量儀器檢定證書上給出準確度等別時，可按檢定系統或檢定規程所規定的該等別的測量不確定度大小，按5.2或5.3進行評定。

    當測量儀器檢定證書上給出準確度級別時，可按檢定系統或檢定規程所規定的該級別的zui大允許誤差與其他信息進行評定。

5.12   B類不確定度分量的自由度與所得到的標準不確定度u（x_i）的相對標準不確定度 ｛u（x_i）｝／u（x_i）有關，其關系為：

                                     （17）

      根據經驗，按所依據的信息來源的可信程度來判斷u（x_i）的標準不確定度，從而推算出比值 ［u（x_i）］／u（x_i）。按式（17）計算出的v_i列于表4：

表 4   ［u（x_i）］／u（x_i）與v_i關系

6   合成標準不確定度的評定

6.1   合成標準不確定度按輸出量Y的估計值y給出的符號為u_c（y）。其中，y通常采用量的符號，如表壓p_e，動力粘度 ，溶液中NaCl的質量分數w（NaCl）的合成標準不確定度，可分別表示為u_c（p_e）、u_c（ ）、u_c［w（NaCl）］。 （y）為輸出估計值的合成方差，而合成標準不確定度u_c（y）為其正平方根。可以按不確定度分量的A、B兩類評定方法分別合成，如u_cA（y）、u_cB（y）分別為僅按A、B類標準不確定度分量的合成不確定度。

6.2   當全部輸入量X_i是彼此獨立或不相關時，合成標準不確定度u_c（y）由下式得出：

                                          （18）

    式中，標準不確定度u（x_i）既可以按A類，也可以按B類方法評定。u_c（y）是個估計的標準差，表征合理賦予被測量Y之值的分散性。式（18）是基于y＝f（x₁,x₂，…，x_N）的泰勒級數的一階近似，稱為“不確定度傳播律”。但當f是明顯非線性時，式（18）中還應包括泰勒級數的高階項，當每個輸入量X_i都對其平均值x_i對稱分布時，加進式（18）的下一高階的主要項為：



6.3   偏導數 是在X_i＝x_i時導出的，這些偏導數稱為靈敏系數，符號為c_i，即c_i＝ 。它描述輸出估計值y如何隨輸入估計值x₁,x₂,…，x_N的變化而變化。尤其是，輸入估計值x_i的微小變化Δx_i引起y的變化，可用（Δy）_i＝（ ）Δx_i＝c_iΔx_i表示，如這一變化系u（x_i）所導致，則y的相應變化為（ ）u（x_i）＝c_iu（x_i）。因而式（18）在X_i互不相關時，可表達為：

                                   （19）

       式中，c_i＝ ，u_i（y）＝｜c_i｜u（x_i）

      偏導數應是在X_i的期望值下評定，即：



例：在3.9節的例中，

    由于各分量互不相關，因而合成方差u^２（Ｐ）為：

6.4   有時，靈敏系數c_i可由實驗測定，即通過變化第i個x_i，而保持其余輸入量不變，從而測定Y的變化量。

6.5   如果，式（2）對輸入量X_i的標稱值X_i,0作一階展開：

式中：Y₀＝f（Ｘ_1,0,X_2,0,…，X_N,0）；

c_i＝ 在X_i＝X_i,0求導；

＝X_i－X_i,0

    為了分析不確定度，常將X_i變換到 ，使被測量近似地為線性函數。

    例：5.6節例2中電壓 ，設電壓重復測量按A類評定方法得出 ,而測量出的平均值 ，附加修正值ΔＶ＝0。

    測量儀器引入的標準不確定度u（ΔV）＝8.7 V，由于 及 ,并且， 彼此獨立，故V的合成方差為：

    合成標準不確定度為：

u_c（Ｖ）＝15 V

    相對合成標準不確定度為：

u_crel（V）＝u_c（V）／V＝16×10^－6

6.6   在X_i彼此獨立的條件下，如果函數f的形式表現為：

Y＝f（X_１，Ｘ_２,…，X_N）

    式中，系數c并非靈敏系數，指數p_i可以是正數、負數或分數，設p_i的不確定度u（p_i）可忽略不計，則式（18）可表示為：

                                   （20）

    這里，給出的是相對合成方差，式（20）說明在這一函數關系下，采用相對標準不確定度u_crel＝u_c（y）／｜y｜和u_rel（x_i）＝u（x_i）／｜x_i｜進行評定比較方便，但要求y≠0和x_i≠0。

    而且，當Y具有這一函數形式時，可設X_i＝X_i,0（1+ _i），從而實現將Y變換成線性函數（見6.5），并得到以下近似關系：



    另外，對數變換Z＝lnＹ和W_i＝lnX_i可以使新的變量*線性化為：

    如果，指數p_i只是+1或－1，式（20）就進一步簡化為：

    即估計值y的相對方差等于輸入估計值x_i的相對方差之和。若y＝xⁿ，則

    即y為x的n次冪時，y的相對不確定度等于x的相對不確定度的n倍。

    例1：立方體體積V的測量通過輸入長l、寬b和高h，其函數關系為：

V＝f（l,b,h）＝lbh

    按式（20）可得：

    或寫成：

      例2：圓柱體體積V的測量通過輸入半徑r與高h，其函數關系為：

V＝πr^２h

    式中，u（π）可通過取適當的有效位而忽略不計，則按式（20）可得：

6.7   當被測量Y為相互獨立的輸入量X_i的線性函數時，且靈敏系數c_i為+1或－1，則式（18）可簡化為：

                                            （21）

    例：y＝x₁+x₂

    且x₁與x₂無關，u（x₁）＝１.73mm，u（x₂）＝1.15mm

    則



6.8   當輸入量X_i明顯相關時，就必須考慮其相關性。相關常由相同原因所致，比如當兩個輸入量使用了同一臺測量儀器，或者使用了相同的實物標準或參考數據，則這兩個輸入量之間就會存在較大的相關性。

6.9   當輸入量相關時，測量結果y的合成方差 的表達式為：

                        （22）

式中，x_i和x_j分別是X_i和X_j的估計值，而協方差u（x_i,xj）＝u（xj, x_i），則x_i與xj之間相關程度可用估計的相關系數來表示：

                                       （23）

    式中，r（x_i,x_j）＝r（x_j,x_i）且－1≤r（x_i,x_j）≤+1，如x_i與x_j相互獨立，則r（x_i, x_j）＝0，即一個值的變化不會預期另一個值也發生變化。

    相關系數這一術語比協方差易于理解，式（22）中的協方差項可寫成：

                               （24）

采用靈敏系數的符號，式（22）即為：

                              （25）

    在所有輸入估計值都相關，且相關系數r（x_i,x_j）＝1的特殊情況下，式（25）簡化為：



    這時,u_c（y）為由每個輸入估計值x_i的標準不確定度u（x_i）產生的輸出估計值y的標準不確定度分量u_i（y）＝c_iu（x_i）的線性和。

例：當標稱值均為1kΩ的10個電阻器，用同一個值為Rs的標準電阻器校準時，設校準不確定度可忽略，檢定證書給出的R_s不確定度為u（R_s）＝0.10Ω。現將此10個電阻器用電阻可忽略的導線串聯，構成標稱值為10kΩ的參考電阻 。由于對電阻器來說 ，則：

故得 

6.10   合成標準不確定度u_c（y）的自由度稱為有效自由度v_eff,如果 是兩個或多個估計方差分量的合成，即 ＝ ，則即使當每個x_i均為服從正態分布的輸入量X_i的估計值時，變量（y－Y）／u_c（y）可以近似為t分布，其有效自由度v_eff可由韋爾奇薩特思韋特（Welch-Satterthwaite）公式計算：

                                           （26）

顯然有：

    式（26）也可用于相對標準不確定度的合成，按式（20）計算時有：

                                        （27）

    必要時除v_eff外，可分別處理 和 對 的貢獻，其關系為：

      例：設y＝f（X₁,X₂,X₃）＝bX₁X₂X₃,輸入量X₁、X₂、X₃彼此獨立，其估計值x_１、x_２、x₃是獨立重復觀測值的算術平均值，重復次數分別為n₁＝10,n₂＝5和n₃＝15，則其相對標準不確定度分別為：

u_rel（x₁）＝u（x₁）／x₁＝0.25%

u_rel（x₂）＝u（x₂）／x₂＝0.57%

u_rel（x₃）＝u（x₃）／x₃＝0.82%

    則其合成方差按式（20）為：

                   ＝（1.03%）^２

    有效自由度為：

＝19

6.11   當隨機效應或系統效應導致的不確定度分量，既可以按統計方法取得，又可以按其他方法評定時，只允許在u_c（y）中包含其中的一個。

      同一種效應導致的不確定度已作為一個分量進入u_c（y）時，它不應再被包含在另外的分量之中。例如：在幾何量測量中，通過重復安裝進行讀數來得出被測件由于安裝的不確定度因素導致的分量，其中就包含了讀數導致的分量，在計算u_c（y）時，就不應再加入讀數的不確定度分量。

    7   擴展不確定度的評定

7.1   擴展不確定度分為兩種：

    a）在合成標準不確定度u_c（y）確定后，乘以一個包含因子k,即U＝ku_c（y）。可以期望在y－U至y+U的區間包含了測量結果可能值的較大部分。k值一般取2～3，在大多數情況下取k＝2，當取其他值時，應說明其來源。

    b）將u_c（y）乘以給定概率p的包含因子k_p，從而得到擴展不確定度U_p。可以期望在y－U_p至y+U_p的區間內，以概率p包含了測量結果的可能值。k_p與y的分布有關。當可以按中心極限定理估計接近正態分布時，k_p采用t分布臨界值（或簡稱t值，見附錄A）。k_p＝t_p（v_eff），一般采用的p值為99%和95%。多數情況下，采用p＝95％。對某些測量標準的檢定或校準，根據有關規定可采用p＝99%。當v_eff充分大時，可以近似認為k₉₅＝２、k₉₉＝3,從而分別得出U₉₅＝2u_c（y）、U₉₉＝3u_c（y）。

7.2   當只給出擴展不確定度U時，不必評定各分量及合成標準不確定度的自由度v_i及v_eff。

    在實際工作中，如對Y可能值的分布作正態分布的估計，雖未計算v_eff，但可估計其值并不太小時，則U＝2u_c（y）大約是置信概率近似為95%的區間的半寬，而U＝3u_c（y）大約是置信概率近似為99%的區間的半寬。

7.3   如果可以確定Y可能值的分布不是正態分布，而是接近于其他某種分布，則決不應按k＝2～3或k_p＝t_p（v_eff）計算U或U_p。例如，Y可能值近似為矩形分布，則包含因子k_p與U_p之間的關系如下：

    對于   U₉₅，k_p＝1.65

    對于   U₉₉，k_p＝1.71

8   測量不確定度的報告與表示

8.1   當給出完整的測量結果時，一般應報告其測量不確定度。報告應盡可能詳細，以便使用者可以正確地利用測量結果。按技術規范要求無需給出測量不確定度的除外。

8.2   在工業、商業等日常的大量測量中，有時雖然沒有任何明確的不確定度報告，但所用的測量儀器是經過檢定處于合格狀態，并且測量程序有技術文件明確規定，則其不確定度可以由技術指標或規定的文件評定。

    證書上的校準結果或修正值應給出測量不確定度。

8.3   對于比較重要的測量，不確定度的報告一般包括以下內容：

    a）有關輸入量與輸出量的函數關系以及靈敏系數c_i；

    b）修正值和常數的來源及其不確定度；

    c）輸入量X_i的實驗觀測數據及其估計值x_i，標準不確定度u（x_i）的評定方法及其量值、自由度v_i，并將它們列成表格；

    d）對所有相關輸入量給出其協方差或相關系數r及其獲得方法；

    e）測量結果的數據處理程序，該程序應易于重復，必要時報告結果的計算應能獨立重復。

8.4   當用合成標準不確定度報告測量結果的不確定度時，除8.3所涉及的內容外，還須注意：

    a）明確說明被測量Y的定義；

    b）給出被測量Y的估計值y、合成標準不確定度u_c（y），及其單位，必要時還應給出自由度v_eff或v_effA、v_effB。

    c）必要時也可給出相對標準不確定度u_crel（y）。

8.5   合成標準不確定度u_c（y）的報告可用以下4種形式之一，例如，標準砝碼的質量為m_s，測量結果為100.02147g，合成標準不確定度u_c（m_s）為0.35mg，則

    a）m_s＝100.02147g;合成標準不確定度u_c（m_s）＝0.35mg。

    b）m_s＝100.02147（35）g;括號內的數是按標準差給出，其末位與前面結果內末位數對齊。

    c）m_s＝100.02147（0.00035）g;括號內按標準差給出，與前面結果有相同計量單位。

    d）m_s＝（100.02147±0.00035）g;正負號后之值按標準差給出，它并非置信區間。

    形式b）一般用于公布常數、常量。

    形式d）雖為ISO 31《量和單位》一貫采用，但因習慣上用于表示高置信概率的區間，一般應避免使用。

8.6   當用U或U_p報告測量擴展不確定度時，除8.3所涉及的內容外，還應注意：

    a）明確說明被測量Y的定義；

    b）給出被測量Y的估計值y，擴展不確定度U或U_p及其單位；

    c）必要時也可給出相對擴展不確定度U_rel;

    d）對U應給出k值，對U_p應明確p值，本規范推薦給出v_eff，以便于不確定度傳播到下一級。

8.7   U＝ku_c（y）的報告可用以下兩種形式之一，例如，u_c（y）＝0.35mg，取包含因子k＝2,U＝2×0.35mg＝0.70mg，則

    a）m_s＝100.02147g,U＝0.70mg;k＝2。

    b）m_s＝（100.02147±0.00070）g;k＝2。

8.8   U_p＝k_pu_c（y）的報告可用以下4種形式之一，例如，u_c（y）＝0.35mg,v_eff＝9，按p＝95%，查附錄A得k_p＝t95（9）＝2.26，U95＝2.26×0.35mg＝0.79mg,則

    a）m_s＝100.02147 g;U95＝0.79mg,v_eff＝9。

    b）m_s＝（100.02147±0.00079）g;v_eff＝9,括號內第二項為U₉₅之值。

    c）m_s＝100.02147（79）g;v_eff＝9，括號內為U₉₅之值，其末位與前面結果內末位數對齊。

    d）m_s＝100.02147（0.00079）g;v_eff＝9,括號內為U₉₅之值，與前面結果有相同計量單位。

8.9   不確定度也可以相對形式Urel或urel報告，例如：

    a）m_s＝100.02147（1±7.9×10^－6）g;p＝95％，式中7.9×10^－6為U_95rel之值。

    b）m_s＝100.02147g;U_95rel＝7.9×10^－6。

8.10   上述列舉的表達形式中的符號含義，必要時應有文字說明，也可采用它們的名稱代替符號，或同時采用。如有必要，單位的符號亦可代之以中文符號或名稱。

8.11   通常在報告以下測量結果時，使用合成標準不確定度u_c（y），同時給出自由度v_eff：

    a）基礎計量學研究；

    b）基本物理常量測量；

    c）復現單位制單位的比對（按有關規定，亦可采用k＝2）。

8.12   當給出擴展不確定度U_p時，為了明確起見，推薦以下說明方式，例如：

m_s＝（100.02147±0.00079）g

    式中，正負號后的值為擴展不確定度U₉₅＝k₉₅u_c，而合成標準不確定度u_c（m_s）＝0.35mg，自由度v＝9，包含因子k_p＝t₉₅（9）＝2.26，從而具有約為95%概率的置信區間。

8.13   估計值y的數值和它的標準不確定度u_c（y）或擴展不確定度U的數值都不應該給出過多的位數。通常u_c（y）和U［以及輸入估計值x_i的標準不確定度u（x_i）］zui多為兩位有效數字。雖然在某些情況下，為了在連續計算中避免修約誤差而必須保留多余的位數。

    在報告zui終結果時，有時可能要將不確定度zui末位后面的數都進位而不是舍去。例如，u_c（y）＝10.47mΩ，可以進位到11mΩ。但一般的修約規則（參見《GB 3101—1993有關量、單位和符號的一般原則》）也應該可用。如u（x_i）＝28.05kHz經修約后寫成28kHz。輸入和輸出的估計值，應修約到與它們不確定度的位數一致。例如，如果y＝10.05762Ω其u_c（y）＝27mΩ，則y應進位到10.058Ω。如果相關系數的值接近1時，則相關系數應給出三位數字。

附錄A

t分布在不同置信概率p與自由度v的

t_p（v）值（t值）（補充件）

    a：對期望 ，總體標準 的正態分布描述某量z,當k＝1，2，3時，區間 ±k 分別包含分布的68.27%，95.45%，99.73%。

    注：當自由度較小而又有較準確要求時，非整數的自由度可按以下兩種方法之一，內插計算t值

    1）按非整v內插求t_p（v）

對v＝6.5，p＝0.9973，由

   t_p（6）＝4.90，t_p（7）＝4.53

得   t_p（6.5）＝4.53+（4.90－4.53）（6.5－7）／（6－7）＝4.72

    2）按非整v由v－1內插求t_p（v）

       例：對v＝6.5，p＝0.9973，由

t_p（６）＝4.90，t_p（7）＝4.53

    得t_p（6.5）＝4.53+（4.90－4.53）（1／6.5－1／7）／（1／6－1／7）＝4.72

    以上，第二種方法更為準確。

附錄B

概率分布情況的估計（參考件）

B.1   正態分布

    a）重復條件或復現條件下多次測量的算術平均值的分布；

    b）被測量Y用擴展不確定度U_p給出，而對其分布又沒有特殊指明時，估計值Y的分布；

    c）被測量Y的合成標準不確定度u_c（y）中，相互獨立的分量u_i（y）較多，它們之間的大小也比較接近時，Y的分布；

    d）被測量Y的合成標準不確定度u_c（y）中相互獨立的分量u_i（y）中，存在兩個界限值接近的三角分布，或4個界限值接近的均勻分布時；

    e）被測量Y的合成標準不確定度u_c（y）的相互獨立的分量中，量值較大的分量（起決定作用的分量）接近正態分布時。

B.2   矩形（均勻）分布

    a）數據修約導致的不確定度；

    b）數字式測量儀器對示值量化（分辨力）導致的不確定度；

    c）測量儀器由于滯后、摩擦效應導致的不確定度；

    d）按級使用的數字式儀表、測量儀器zui大允許誤差導致的不確定度；

    e）用上、下界給出的線膨脹系數；

    f）測量儀器度盤或齒輪回差引起的不確定度；

    g）平衡指示器調零不準導致的不確定度。

B.3   三角分布

       a）相同修約間隔給出的兩獨立量之和或差，由修約導致的不確定度；

    b）因分辨力引起的兩次測量結果之和或差的不確定度；

    c）用替代法檢定標準電子元件或測量衰減時，調零不準導致的不確定度；

    d）兩相同均勻分布的合成。

B.4   反正弦分布（U形分布）

    a）度盤偏心引起的測角不確定度；

    b）正弦振動引起的位移不確定度；

    c）無線電中失配引起的不確定度；

    d）隨時間正余弦變化的溫度不確定度。

B.5   兩點分布

    例如，按級使用量塊時，中心長度偏差導致的概率分布。

B.6   投影分布

    a）當X_i受到1－cos （角 服從均勻分布）影響時，x_i的概率分布；

    b）安裝或調整測量儀器的水平或垂直狀態導致的不確定度。

B.7   無法估計的分布

    大多數測量儀器，對同一被測量多次重復測量，單次測量示值的分布一般不是正態分布，往往偏離甚遠。如軸尖支承式儀表示值分布，介于正態分布與均勻分布之間，數字電壓表示值分布呈雙峰狀態，磁電系儀表的示值分布與正態分布相差甚遠。

附錄C

有關量的符號匯總（參考件）

    以下符號來源于GUM；ISO 3534—1：1993；IEC27與ISO5725—1：1994。

a     輸入量X_i可能值為矩形分布時的半寬；

a＝（a₊－a_－）／2

a₊   輸入量X_i的上限

a_－   輸入量X_i的下限

b    修正值

b₊    輸入量X_i按其估計值x_i的偏差的上限：

b₊＝a₊－x_i

b_－   輸入量X_i按其估計值x_i的偏差的下限：

b_－＝x_i－a_－

cov   協方差，隨機變量y和z的協方差表示為cov（y,z）＝cov（z,y）

c_i    偏導數或靈敏系數c_i＝f／x_i

f    被測量Y與和Y有關的輸入量X_i之間的函數關系，或輸出量估計值y與和y有關的輸入估計值

x_i之間的函數關系

    偏微分（偏導數）

輸入量X_i與被測量Y之間存在函數關系f時，X_i之估計值量x_i的偏微分，恒按下式估計：

k     包含因子（覆蓋因子）。用于與輸出量估計值y的合成標準不確定度u_c（y）相乘，以得出擴展不確定度Uku_c（y）

的包含因子。由此，可給出一個具有較高置信概率的區間Y＝y±U

k_p     用于與輸出量估計值y的合成標準不確定度u_c（y）相乘，以保證所得到的擴展不確定度U_p＝k_pu_c（y）

具有某給定置信概率（置信水平）p的包含因子

m    總平均值；被測量的個數；與被測量y有關的輸入量x_i的數目

n    重復觀測次數

N    與被測量Y_i有關的輸入量X_i的數目

p    概率；置信概率；置信水準；置信水平：0≤p≤1

P（A）； 事件A發生的概率

Pr（A）

q    用概率分布描述的隨機變量

q    隨機變化的量q在n次獨立重復觀測中的觀測值q_k的算術平均值；q概率分布均值 _q或其期望的估計q_k隨機

變量獨立重復觀測中q的第k個觀測值

r    重復性限

r（x_i,x_j）  輸入量X_i與X_j的輸入估計值x_i與x_j的估計相關系數：

r（x_i,x_j）＝u（x_i,x_j）／u（x_i）u（x_j）

通過輸入量X_i和X_j的n對獨立同時重復觀測值X_j;k和X_j;k所確定的輸入均值X_i和X_j的估計相關系數：

r（y_i,y_j）   在同一測量程序中所確定的兩個或多個輸出量或是被測量中，輸出估計量y_i與y_j的估計相關系數

R    復現性限（再現性限）

   方差的組合樣本估計值

s_p   組合樣本標準差;等于s^２p的正平方根

s_r   重復性標準差sR復現性標準差（再現性標準差）

算術平均值 的實驗方差，它是算術平均值 方差 ^２／n的估計值。方差由A類評定方法獲得

s（ ）  算術平均值 的實驗標準差，等于 實驗方差s^２（ ）的正平方根；s（ ）是總體標準差 （ ）的有偏

估計；為A類評定方法獲得的標準不確定度

s^２（q_k）   變量q的n次獨立重復測量值q_k所得到的方差的樣本估計，是變量q的概率分布的總體方差 ^２的估計

s（q_k）  實驗標準差或樣本標準差，等于樣本方差s^２（q_k）的正平方根；它是變量q的概率分布的總體標準差

的有偏估計

輸入量X_i的均值X_i的實驗方差，由X_i的n次獨立重復觀測值X_i,k所得出；A類評定方法獲得的方差

   輸入量X_i的均值X_i的實驗標準差，等于方差s^２（X_i）的正平方根。由A類評定方法所獲得的標準不確定度

   均值 與 的協方差的估計。這兩個均值是兩隨機變量q與r的期望 _q和 _r的估計，而且它們是由n

對獨立同時重復觀測q_k和r_k所計算出的；協方差由A類評定方法所獲得。

輸入量X_i和X_j的均值X_i和X_j的協方差的估計。它們由n對獨立同時重復觀測值X_i,k和X_j,k所得出；協方差

由A類評定方法所獲得

t_p（v）    t－因子（t－factor）。它按所給定的概率p與已知的自由度v給出

t_p（v_eff）   對于有效自由度v_eff以及與給定概率p相應的t分布的t值。它用于計算擴展不確定度U_p

u^２（x_i）   輸入量X_i的估計值x_i的估計方差

    注：當x_i由n次重復觀測值的算術平均值得出時：

    即自A類評定方法所獲得的方差

u（x_i）    輸入估計值x_i的標準不確定度。x_i是輸入量X_i的估計。u（x_i）等于方差u^２（x_i）的正平方根

    注：當x_i是由n次獨立重復測量的算出時：

    即自A類評定方法所獲得的標準不確定度（A類標準不確定度）

u（x_i,x_j）   兩輸入量X_i和X_j的輸入估計值x_i與x_j的估計值協方差

    注：x_i與x_j是從n次獨立同時重復觀測值算出時，有：

    即是從A類評定方法所獲得的協方差

   輸出估計值y的合成方差

u_c（y）   輸出估計值y的合成標準不確定度，等于合成方差 的正平方根

  輸出估計值y的所有按A類評定方法所確定的標準不確定度以及協方差的合成標準不確定度（A類合成標準

不確定度）

u_cB（y）   輸出估計值y的所有按B類評定方法所確定的標準不確定度以及協方差的合成標準不確定度（B類合成標

準不確定度）

u_c（y_i）  在同一測量程序中，有兩個或兩上以上的被測量或輸出量y_i時，輸出估計值y_i的合成標準不確定度

   由輸入估計值x_i的估計方差u^２（x_i）所形成的估計值y的合成方差 的分量：

u_i（y）   由輸入估計值x_i的標準不確定度u（x_i）產生輸出估計值y的合成標準不確定度u_c（y）的分量u_i（y）≡｜c_i｜u（x_i）

u（y_i,y_j）   輸出估計值y_i與y_j的估計協方差（在同一測量程序中的輸出估計值y_i與y_j）

u（x_i）／｜y_j｜輸入估計值x_i的相對標準不確定度，也用u_rel（x_i）

u_c（y）／｜y｜輸出估計值y的相對合成標準不確定度，也用u_crel（y）

［u（x_i）／x_i］］^２輸入估計值x_i的估計相對方差，也用u^２_rel（y）

［u_c（y）／y］^２輸出估計值y的相對合成方差，也用u^２_crel（y）

輸入估計值x_i和y_j的估計相對協方差，也用u_rel（x_i, y_j）

u_rel；u_r    相對標準不確定度

U     提供一個置信區間Y＝y±U的輸出估計值y的擴展不確定度。它等于包含因子k與y的合成標準不確

定度u_c（y）之積：

U＝ku_c（y）

U_p    以置信概率p提供置信區間y＝y±U_p的輸出估計值y的擴展不確定度。它等于包含因子k_p與合成標準不

確定度u_c（y）之積：

u＝k_pu_c（y）

U_rel;U_r    相對擴展不確定度，相對展伸不確定度

U_prel;U_pr置信概率p的置信區間相對半寬度；概率為p的相對擴展不確定度

x_i    輸入量X_i的估計值

    注：當x_i是由n次獨立重復觀測值的算術平均值得出時：

x_i＝

X_i     與被測量Y相的第i個輸入量

    注：X_i可以是物理量或隨機變量

   輸入量X_i的估計值，等于X_i的n次獨立重復觀測量值X_i,_k的算術平均值

X_i，_k   輸入量X_i的第k個獨立觀測值

y    被測量Y的估計值；測量結果；輸出估計值

y_i     在同一測量程序中，當有兩個或多個被測量要測出時，被測量Y_i的估計值

    被測量Y測量結果的算術平均值

    y_i的平均值；y_i的總平均值

    分辨力；修約間隔

_q   隨機變量q概率分布的期望或均值；數學期望；總體平均值

v    自由度的一般符號

v_i     輸入估計值x_i的標準不確定度u（x_i）的自由度

v_eff   在計算擴展不確定度U_p時，為得到t－因子t_p（v_eff），合成標準不確定度u_c（y）的有效自由度

v_effA所有通過A類評定方法所獲得的標準不確定度分量合成后，成為一個A類標準不確定度的有效自由度，即u_cA（y）的有效自由度

v_effB所有通過B類評定方法所獲得的標準不確定度分量合成后，成為一個B類標準不確定度的有效自由度，即u_cB（y）的有效自由度

隨機變量q概率分布的方差，用s^２（q_k）估計

  概率分布的標準差；標準差的真值。等于 ^２的正平方根，s（q_k）為 的有偏估計值

的方差，等于 ^２／n，由s^２（ ）估計：

s^２（q）＝s^２（q_k）／n

的標準差，等于 的正平方根；s（ ）為 （ ）的有偏估計

的實驗標準s（ ）的方差

平均值 的實驗標準差s（ ）的總體標準差，等于 ^２［s（ ）］的正平方根

標準不確定度u（x_i）的相對不確定度，用于評定B類標準不確定度的自由度

附錄D

術語的英漢對照（參考件）